Her er en praktisk øvelse som illustrerer de to fysiske fenomenene som bestemmer hvor høyt legotårn det er mulig å bygge med 2x2 klosser oppå hverandre. Den første moden som vi gjerne kaller lokal deformasjon er ganske enkelt styrken til materialet multiplisert med det arealet til tverrsnittet som er effektivt. Dette kan demonstreres ved å trykke på en kort søyle. I dette tilfellet ble det testet 1, 2 og 8 klosser oppå hverandre, og maksimal kraft som ble oppnådd var omtrent 400 kg for disse tre tilfellene. Det er verdt å merke seg at ved omtrent 200 kg ble 4 studs trykket ned i klossen slik søylene etter testing viser. Bildet viser dessuten en søyle som er 16 klosser høy, og denne begynte å gi etter med størst utbøyning ut til siden i nærheten av midten. Testen viser dessuten to små merker som indikerer hvordan klossene har gitt etter lokalt. Vi kaller gjerne dette for samvirke mellom lokal og global deformasjon.
Testet også 32 klosser oppå hverandre for å illustrere det vi gjerne kaller global instabilitet. Dette betyr at materialet bøyer unna siden konstruksjonen ikke har tilstrekkelig stivhet til å holde materialet på plass og dermet utnytte styrken i det. Dette betyr at søylen knekker ut til siden, og dette skjer plutselig ved 150 kg i dette tilfellet. Jeg skulle gjerne hatt høyhastighetskamera for å få bedre bilder. Klossene ble spredt rundt i rommet, men det var bare å samle dem opp. Og ikke uventet var det ingen varig skade på dem som ble testet i denne slanke søylen.
Men ødelegge klosser for å teste fysiske lover?
Kan medgå at jeg har utfordret clutch power ved å lage sirkler av 1x2 klosser og plater, men presse klossene sammen med vilje…
Nei vettu hva!
Kompetansen i realfag er synkende i samfunnet vårt samtidig som det har begynt å ramle ned infrastruktur også i Norge. Denne utviklingen må snus, og med tungt hjerte ofret jeg 12 av mine dyrebare klosser for å demonstrere dette. Korte søyler kan bære mye siden styrken til materialet kan utnyttes så lenge høyden er tilstrekkelig liten. Det betyr at klossene som ble testet med høyde 1, 2 og 8 klosser ble ødelagt. De som ble testet med høyde 16 klosser fikk hard medfart, og den øverste ble totalt ødelagt. Men de 32 klossene som ble benyttet i den høyeste søylen er like fine etter testen. Søylen bøyer unna mens lasten er så lav at klossene tåler dette.
Disse testene ble utført for å kartlegge egenskapene til disse klossene slik at det ble mulig å regne ut hvor høyt tårn det er realistisk å bygge med 2x2 klosser dersom dette skal kunne stå fritt. Den teoretiske grensen på 303 klosser i høyden er ikke realistisk i praksis, mens det skal være mulig å plassere 241 slike klosser oppå hverandre. Dette betyr 231 cm hvilket vil nå opp til taket med standard takhøyde.
Jeg syns det er bare bra at noen bruker LEGO til andre ting enn “bare” å lage modeller av noe.
LEGO er jo ett materiale som er enkelt å få tak i og de fleste (iallefall i Norge) har vært borti det en gang i løpet av sitt liv og har derfor ett forhold til det (etter å ha trødd på dem med nakne føtter på stuegulvet…).
Så da er det jo bare morro å se noen som tester ut hvor mye brikkene egentlig tåler.
Jeg som også er interessert i LEGO Technic synes denne artikkelen var veldig bra: eprints.usq.edu.au/20528/1/Lost … g_2012.pdf
Her tester de ut styrken på Technic Brick Beams og Technic Liftarms, samt forskjellige sammenkoblings varianter.
Her er et eksempel til hvor man kan regne litt i forkant og så teste ut i praksis etterpå. Etter det jeg forstår er de nominelle dimensjonene til en 2x1 kloss eller plate lik 15.8 mm og 7.8 mm slik at nominelt gap mellom dem blir 0.2 mm når de settes etter hverandre. Dette betyr at det kan bygges en sylinder med 248 2x1 brikker eller plater i hvert lag der det ikke skal være nødvendig å deformere klossene forutsatt de har dimensjoner som antatt ovenfor. Jeg kjenner ikke til hvilken geometrisk variasjon som må forventes for slike klosser. Men større gap gir mindre diameter, og større klosser enn nominelle verdier gir mindre gap og dermed større diameter siden deformasjon av klossene ikke er ønskelig.
Takk for fine kommentarer. Her er tilsvarende regnestykke med en 1x1 rund brikke mellom hver 2x1 brikke i hvert lag. Noen streker som er parallelle, andre som står vinkelrett på disse linjene i rotasjonspunktene og det dukker opp tre likeformede trekanter slik at en kan finne cosinus til vinkelen som blir 12.83857 grader. Det er da plass til litt over 28 av disse innenfor 360 grader, men det må avrundes oppover til nærmeste heltall som kan deles på tre. Dette betyr at det trengs 10 1x1 runde brikker pluss 10 2x1 brikker i hvert lag for å bygge denne sylinderen. Det er litt å gå på her slik at klossene kan være 0.32 % større enn nominelle dimensjoner uten at klossene må deformeres for å bygge denne.
De siste innleggene er meget informative og viser gode eksempler på hvordan matte kan brukes i praksis Runde former er jo også noe av det vanskeligste å få til/pent med bruk av LEGO klosser og slike innlegg er sikkert med på å inspirere til bygging
Hei
Regneeksemplene er flotte, og kan helt klart hjelpe oss i planlegging av byggverk
Min kommentar over dreier seg mest om et stygt barndomsminne der en kompis av min bror bygget lego hos oss og avsluttet byggverket med å kaste byggverket fra toppen av trappen og ned. Møtet med kjellergulvet resulterte i flere ødelagte klosser, deriblant for oss uerstattelige klosser (nå kan de jo kjøpes på BL, det var umulig da).
Det gjorde sterkt inntrykk på en liten pode.
Jeg respekterer at du ødelegger dine egne klosser, Tore. Om det kan tjene et høyere mål og samtidig inspirere og utdanne unge, så er det et lite tap for formålet
Dr.Tore det var jo en kul måte å vise det på. Jeg har ikke forsøkt å regne på dette selv før, bare sett det i praksis
Ett annet fenomen med LEGO som også kan knytes til matematikk er trekanter.
La oss si at du har en 32x32 baseplate, men du ønsker å lage en vegg på ett hus som er i en vinkel som ikke følger radene med knotter (altså ikke 90 grader vinkler).
Hvilken lengder må du ha på veggene for å treffe på en stud? Og hva om du blander inn jumperplates (som jo halverer avstanden mellom studs)?
Jeg har tidlig memorert 3-4-5 regelen som sier at man kan lage en rettvinklet trekant med sidene 3, 4 og 5 studs i mellom, hvor 3 og 4 står vinkelrett på hverandre.
Men hvilke andre forholdstall finnes det innenfor en 32x32 plate?
Her må man jo også ta høyde for produksjonsavviket på klossene?
Jo, jeg vet det allerede finnes tabeller der ute som viser dette. Men hadde vært morro å se dette forklart på Norsk hvordan man kan regne seg frem til dette og vår kjære Dr.Tore ser ut til å være kapabel til å forklare det for oss her?
For å ta spørsmålet ditt helt bokstavlig:
=HVIS(ROT(B$1B$1+$A2$A2)=AVRUND(ROT(B$1B$1+$A2$A2);0);ROT(B$1B$1+$A2$A2);“Nei”)
Hvis tallet i 1. rad i regnearket rett over der du setter inn denne formelen, og tallet i A-kolonnen rett til venstre for formelen, gir en posisjon som passer nøyaktig med en stud vil formelen gi som resultat antallet studs på skrå. Hvis det ikke passer vil svaret bli Nei.
Disseksjon:
B$1 og $A1 - dette er en formel som lar deg kopiere formelen til mange celler, og hvor formelen bruker tallene i rad 1 og kolonne A i beregningene.
ROT(B$1B$1+$A2$A2) - Pytagoras - summen av kvadratene av de korte sidene som møtes i et rett hjørne (katetene) blir lik kvadratet av den lange, skrå siden (hypotenusen).
HVIS(ROT(B$1B$1+$A2$A2)=AVRUND(ROT(B$1B$1+$A2$A2) - Hvis resultatet av beregningen blir et helt tall, med andre ord passer perfekt på en stud.
Nei, vet du hva, dette ble ikke nevneverdig ped-agurk-isk.
Nytt forsøk:
Dette bygger på Pytagoras og heltall.
Pytagoras var en gammel egypter som skulle fordele åkerlapper etter at åkeren var oversvømt. Det gjorde han med trekanter. Akkurat hvorfor han brukte legoklosser til å dele inn åkerlappene vet jeg ikke, men han fant i et hvert fall opp en formel for å regne ut hvor langt det egentlig er mellom to studs på en baseplate.
Den formelen han ble kjent for er Pytagoras læresetning:
Så er spørsmålet hvordan vi kan bruke Pytagoras til å finne studs som kan forbindes med LEGO på en slik måte at det fremdeles stemmer med studs på skrå.
Og da er svaret at vi må kjenne kvadrattallene, og finne to kvadrattall som til sammen blir et tredje kvadrattall.
Kvadratet av 6 er 36, og kvadratet av 8 er 64. 36 + 64 = 100, som er kvadratet av 10.
6, 8 og 10 er med andre ord en trekant som er et helt antall studs på alle sider.
Tusen takk Herman for en glimrende framstilling med flott bruk av regneark. Jeg har utvidet med å følge Fonix sin ide hvor jumperplates halverer anstanden mellom studs. Dette gir noen flere muligheter som på min grafiske framstilling på en 32x32 plate er vist med gult. Det betyr halv avstand både på en sidekant og som resultant (eksempel: 2.52.5=22+1.51.5). Jeg brukte en av kvadratsetningene (A+B)(A+B)=A*(A+2B)+B*B for å lete opp mulighetene men gikk ikke så systematisk til verks at jeg kan garantere at alle ble funnet. 45 grader er vanskelig å treffe eksakt, og den beste muligheten på en 32x32 plate synes å være avstanden fra svart 1x1 rund plate nederst i venstre hjørne opp til rød 1x1 rund plate som avviker omtrent 0.05 mm. Svært små vinkler er også vanskelige og de to radene med røde 1x1 runde plater viser muligheter med tilsvarende avvik. Vinklene som oppnås er angitt med tre desimaler som bør holde i LDD.
WOW!!
Det der var jo en MYE bedre grafisk fremstilling enn noen tabeller jeg har sett tidligere.
Herved lagret og lagt i favoritter for enkelt å finne frem ved behov!
Tusen takk drtore
En spennende mulighet er å bruke trekanten til å lage vinkler i to lag oppå hverandre. Eksempelet viser dette med seks studs bortover og to-og-en-halv stud oppover. Invers tangens av 2.5/6 gir en vinkel på 22.62 grader. Den lengste sidekanten er her seks-og-en-halv studs slik at denne løsningen kan brukes direkte som vist med gult på figuren ovenfor. Alternativt kan en bruke denne muligheten en gang til oppå den første slik at vinkelen dobles til 45.24 grader som vist nedenfor. En ulempe ved to lag oppå hverandre er at det blir kun en stud som treffer videre bygging oppover slik dette er indikert med en jumperplate oppå den ene dørkarmen i eksempelet. Resultatet er dessuten en liten forskyvning til siden som gjør at det med litt mindre plass må benyttes en alternativ løsning for å tette gapet mot dørkarmen på den ene siden. Materialet i klossene har forholdsvis lav stivhet, og disse forskyvningene kan være så små at det ved praktisk bygging knapt merkes. Men de kan være store nok til at matematikk baserte LDD ikke godtar dem. Den store fordelen med to lag oppå hverandre er at denne muligheten kan benytte løsninger uavhengig av om resultanten treffer på en hel eller halv stud. De to resultantene står mot hverandre og vil derfor alltid treffe. Håper eksempelet nedenfor er til å forstå selv om det ikke følger malen/forventningene til byggeinstruksjoner?
Her hadde jeg tenkt å legge inn en liten video som viser hvordan matematikk kan brukes til å beregne hva som skjer når en trykker på toppen av et tårn bestående av 32 2x2 Lego klosser oppå hverandre. Men så fikk jeg ikke til å legge inn video slik at det måtte bli et bilde med fem steg som illustrerer hva som skjer. Dette er også testet, og en liten beskrivelse av testene finnes øverst i denne tråden.
Kan det være en ide å øke læringen ved bruk av LDD ved at dette inkluderes i programmet slik at klossene faller ned idet det velges løsninger som ikke bærer vekten av klossene over? Jeg mener ikke at dette skal være like nøyaktig som de mest avanserte ikke-lineære programmene som finnes på markedet i dag. Det vil kreve for mye regnekraft. Det bør være tilstrekkelig med enkle formler for hver kloss slik at en fanger opp at den nederste klossen ikke kan tas bort uten at plasseringen til klossene over denne blir påvirket av dette. Og så bør det legges inn litt til i tillegg til dette…
Et lite forsøk på stuegulvet demonstrerte at det er forholdsvis enkelt å sette 150 2x2 klosser oppå hverandre, men så ble det straks mye vanskeligere. Tårnet ble mindre og mindre stabilt. Dette ble tydelig ved at det svingte saktere og saktere tilbake når en dyttet toppen en millimeter ut til siden. For meg ble det stopp ved 161 klosser, og dette var skuffende i og med at det skal være mulig å nå 241 klosser oppå hverandre.
Runde former er jo også noe av det vanskeligste å få til/pent med bruk av LEGO klosser og slike innlegg er sikkert med på å inspirere til bygging 
